Ірраціональні рівняння, нерівності, їх системи

Ірраціональним називається рівняння, в якому змінна знаходиться під знаком кореня.

Розв’язування ірраціональних рівнянь здійснюється заміною ірраціонального рівняння на рівносильне йому раціональне рівняння, або раціональне рівняння, яке є його наслідком. 

Зверніть увагу! Починати розв’язування ірраціонального рівняння, слід починати з визначення області допустимих значень рівняння, оскільки рівняння може бути невизначеним на множині дійсних чисел і дійсних розв’язків не мати.

При переході від рівняння f(x) = g(x) до рівняння (f(x))2n = (g(x))2n можуть з’явитися сторонні корені, тому після розв’язування рівняння треба зробити перевірку знайдених коренів безпосередньою підстановкою кожного кореня у вихідне рівняння. Якщо при цьому дістаємо неправильну рівність, то корінь, що перевіряється, є стороннім коренем і не є коренем заданого рівняння; якщо дістаємо правильну рівність, то такий корінь є коренем заданого рівняння.

Методи розв’язання

1. Піднесення обох частин рівняння до одного і того ж степеня. Одержане рівняння є наслідком вихідного рівняння.

Зауваження. Якщо однократним піднесенням до степеня ірраціональність не була виключена, одержане рівняння можна спростити і повторити піднесення до степеня обох частин рівняння

2. Введенням нової змінної задане рівняння зводиться до квадратного.

3. Рівняння, одна з частин якого є сумою або різницею квадратних коренів із виразів, які відрізняються на число, а друга частина є числом, розв’язується домноженням обох частин рівняння на спряжений вираз і наступним розв’язуванням системи рівнянь заданого й одержаного.

Ірраціональною називається нерівність, у якій змінна знаходиться під знаком кореня.

Розв’язування ірраціональних нерівностей здійснюється зведенням ірраціональних нерівностей до рівносильних їм систем раціональних нерівностей або сукупності таких систем. 

Система рівнянь називається системою ірраціональних рівнянь, якщо серед рівнянь системи є ірраціональні рівняння. Розв’язування систем ірраціональних рівнянь передбачає звільнення від ірраціональності за допомогою методів, які застосовуються в розв’язанні ірраціональних рівнянь.

Рівняння, що включають тригонометричні функції парних степенів

Користуючись формулами зниження степеня, перетворюють рівняння так, щоб усі тригонометричні функції, що до нього входять, мали перший степінь.

Зверніть увагу!

Якщо для запису відповіді тригонометричного рівняння використовується декілька формул, то цілочисельні змінні, що входять до них, іноді позначають різними буквами (πn, πk тощо). Це буде використовуватись, коли після розв’язку рівняння треба відбирати корені.